教学趋势：培养“问题”学生
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姚善志

这儿的问题学生是指:学生能根据所学过的知识和技能解决学科内（如课本、教辅书、各种练习试卷上）的题目，更深层的是指学生能根据所掌握的知识自己编制问题、提出问题（也可以是时下解决不了的，待知识完善后再加以解决的问题，如哥德巴赫的猜想），即“问题”学生就是指不但能解决问题，更能提出问题的学生。这个观点是基于时下教育现状的忧虑。

江苏省实施新课程改革已经5年了，新的课程改革就是围绕如何实施素质教育而展开的，强调的是以人为本的教学理念，即关注学生个人的发展、关注学生情感的培养、态度的引领、价值观的形成，倡导“学生为主体，教师为主导”的教学模式，要求教育教学要为了一切学生、为了学生一切、一切为了学生。强调教学过程要积极地调动学生的学习积极性、唤醒学生的参与意识，以便学生主动汲取知识，以改变学生被动地学习，这种改革的核心就是让学生动起来、参与进来，以便学生学到更多的东西，更会学习（而在情感、态度等方面的教学目标则很难落实）。其实这只是一种浅层次的学习，社会需要的不是会学习的人，而是能解决老问题，并能提出新问题的人。因而培养“问题”学生才是当今社会教育的趋势和归宿。

首先要培养学生解决问题的能力

加强双基训练，培养学生的运算能力是基础。为了切实巩固学生的基础知识和技术技能，培养学生的运算能力（江苏高考的三大能力之一，也是首要能力）教师讲一定数量的例题，学生课外要做一定数量的习题是必要的。当然不能搞题海战术。教师要精讲，所选例题要具典型性、基础性，着重通能通法的讲解。所布置的题目要细选，最好是教师要事先做一遍，去除偏题、怪题、错题，所布置的题目，既要体现巩固基础的作用，又能体现出数学思想。在教与学的过程中要时刻归纳基本题型及通解通法。如在学习了《线性规划》一节后，师生要共同归纳线性规划题型的结构。条件为若干个不等式组成的一个不等式组，它的几何意义是表示平面直角坐标系中的一个平面区域（涉及的变量只有两个），目标函数要具备一定的几何意义：是一次表达式的可转化为截距（如：求x+2y的最大值，可设x+2y=t y=– + ，要求x+2y的最大值相当于求直线y=– + 的纵截距 的最大值）；是分式的可转化为斜率(如： 可以看成是平面内任一点(x，y)与原点(0，0)的两点之间的斜率)；是平方式的可转化为两点之间的距离（如：求x2+y2的最小值，可以看成是平面区域内任一点(x，y)与原点(0，0)的两点之间的距离的平方）。如果我们在教学过程中对线性规划问题的条件和结论进行了深刻地挖掘，并作了结构上的归纳，那么今年2012年江苏高考卷第14题就不难了。第14题为：已知正数a、b、c满足5c－3a≤b≤4c－a，c·lnb≥a+c·lnc则 的取值范围为_______。观察条件a>0，b>0，c>0，5c－3a≤b，b≤4c－a，c·lnb≥a+c·lnc，共6个不等式，回顾所学过的题型，不难发现它与线性规划的题型较为吻合，但未知数的个数不同，此时可采取同除以c转化为两个变量。先对较为复杂的条件c·lnb≥a+c·lnc进行加工得：ln ≥ ，再结合要求的 = ÷ ，从几何意义入手，设 =y， =x，且x>0，y>0，这样总条件转化为： ，画出可行域，要 的取值范围，可转化为 ÷ = y÷x= 斜率来做，最大值为7，最小值为过原点作直线y=ex的切线斜率，设切点为(x0， )，则k= ，切线方程为y－ =  (x－x0)，∵点(0，0)在切线上，故：－ =  (－x0) x0=1 k=e，故 的取值范围为[e，7]。

因此，要提高学生的解题能力，首先必须对题目进行归类，并指明每一种题型的通解通法，教学链条为概念→例题→题型→解法→模仿训练→记忆。会模仿是形成学生解题能力的物质基础，试想连双基题型的题目学生都不会解，还怎样进行提升？巧妇难为无米之炊啊！上层建筑是数学思想方法，它以基础知识为载体，是隐藏在基础的背后，需要我们来挖掘来提炼，它是课本的一条暗线，反映着知识间的横向联系，是动态的。而基础知识是明线，反映知识间的纵向关系，是课本中写明了的，是静态的。高中时代所学的数学知识，在走出校门的一两年内就差不多忘了，但是通过学习所得到的数学思想方法和数学精神是终生享用的。这正如日本教育家米出国藏所说：“不管学生以后从事什么工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法将长期在他们的生活和工作中发挥作用。”

如：学生在学习《等差数列》一节时，等差数列前n项和的求法则是一种数学思想方法——倒序相加法；它的实质是某两项的下标和与另一组两项的下标和相等，则这两项的和就与另两项的和相等。如：在 中， =a1+a2+a3+a4+…+an，例后可写成： =an+an-1+an-2+…+a1，对应两组的下标和都为n+1，即a1+an=a2+an-1=…=an+a1，于是2Sn=n(a1+an)，即 = 。若函数f(x)= ，则f( )+f( )+f( )+…+ f( )=?显然逐一代入求解是不科学的，仔细观察表达结构，有点象等差数列前n项的结构，尝试用倒序相加法， 有对应自变量的和为1，已为定值，再证：f(x)+f(1－x)也为定值则可。显然：f(x)+f(1－x)= + = + =1∴2 =6 =3

上面是从题型的角度来训练提高学生的解题能力的。其实提高学生解题能力更行之有效的方法是展示思维过程。

德国数学家第斯多德曾经说过：“一个好的教师应教会人去发现定理”。展示的过程就是重复发现的过程，教师讲解时要充分暴露自己的思考过程，尤其是展示在思考过程中受阻和碰壁时的情境，然后是如何从失败中得到正确的思路的。一般教师很难做到这一点，一是因为此题根本未做，只是看参考答案，是拿来主义，自然也就没有什么好展示了；再者教师害怕在展示自己弱点时会降低在学生心目中的形象，而只展示成功的思路（有时是经过多次失败后总结出来的），讲得精彩，但今后学生遇到类似问题仍然不会。因为这个经过“千锤百炼”的好方法，不是学生想的，更不知其是怎么产生的，学生只是观众，所以作为教师要展示原始思维，原汁原味的，就是走的弯路也展示出来。教师走了弯路，学生才不会重导复辙。

同时也要展示学生的思维。给学生充分展示思维的机会，尊重学生的思维，即使这种思维解不出问题，也不能一棍子打死，要一分为二，指出好的和不足的，以培养学生的自信心。在展示过程中教师要指出好在何处，错在何处，怎样修正。充分调动学生的参与意识，学生之间能指出优劣的，教师决不代劳。对于学生困惑的地方，教师要给予明确的答复：对、还是不对，决不模棱两可。但这要求教师有较高的数学修养。

阐述了提高学生解题能力的方法之后，我们要引导学生如何提出问题，提出问题比解决问题的境界更高。

一、在传授知识中挖掘问题

要想深刻理解和把握新概念，新公式我们必须推敲概念中每一字、公式中每一个字母的意义，在推理中提出问题。

学习了导数的定义之后，我们反思：为什么曲线的切线可以与曲线有两个或两个以上的公共点呢？这是定义决定的，定义的是曲线在某一点处的切线。

再如：学生学习了函数y=ax与y= 之后，知道两个函数的图象关于直线y=x对称，但是会不会有交点呢？显然若有交点，交点也是在直线y=x上。因此问题转化为函数y=ax（a>1）与y=x的两图象是否有公共点的问题。学习了导数后，解法如下：要使y=ax与y=x（a>1）的图象有公共点，只需函数f(x)= （a>1）有零点，f′(x)= ax －1，f′≥0 ax≥ x≥ ，故f(x)在（－∞， ）上递减，在（ ，+∞）上递增，故f(x)的最小值为f( )，只有最小值小于或等于零时才有交点，故f( )= － ≤0 ≤ ，由 >0得，lg ≥1 ≥e ≤ a≤ ，故a的范围为1<a≤ 。这样的挖掘既掌握了新知识，又加强知识点之间的横向联系。

二、在形同质异中辨析问题

在数学教学中，常遇到一些表达形式相似，但本质相异的问题，学生很困惑。这类问题需在比较中辨析，再各自转化为自己会解的问题。

题一：函数y=3x2－(2m－6)x+m+3的值恒为非负数，求实数m的取值范围。

题二：函数y=3x2－(2m－6)x+m+3的值域为非负数，求实数m的取值范围。

解析：题一中：函数的最值是非负数即 ≥0 －3≤m≤0

题二中：等价于函数的最小值为零，即 =0 m=－3或m=0.

三、在梳理知识中归纳问题

在复习过程中对多种相似，要求的结构也相似的问题可进行归类处理，总结出通解通法。

如：根的分布问题：关于x的方程x2－ax+1=0区间( ，3)上有两个不等的实根，求实数a的取值范围，这样的题型，可以用通解通法——分离参数法来解，x2－ax+1=0 a=x+ 。故由数形结合得 。若本题用二次函数的思想来解则繁。有些看似无关的问题也可归类解决，如：若关于x的方程lg(2－x)+lg(x+4)=lg(a－x)恰有一个实根，求实数a的取值范围。

解析： ，得a=7 或－4<a≤2

四、在思维展示中挑问题

展示学生在解题的思维过程，可有效地暴露学生的思维弱点，让其他同学指出不足，并试着提出订正意见，是提高学生思维能力的有效方法。

如：函数f(x)=log2x，x∈[1，9]，求函数g(x)=[f(x)]2+f(x2)的值域。

一学生的思维展示如下 ： g(x)=[log2x]2+log2x2， 设log2x=t，0≤t≤2，则y=t2+2t在[0，2]上单调递增，故y∈[0，8]，这位同学自感方法巧妙，而洋洋自得。经过5分钟的学生分组讨论，有的学生提出质疑：f(x)的定义域为[1，9]，g(x)的定义域为什么？最后把难点定位在g(x)的定义域上，经过大家的研讨：认为g(x)的定义域应为[f(x)]2中x的范围与f(x2)中x的范围的交集，故g(x)的定义域为[1，3]，因此g(x)∈[0，3]。

只要我们提高了解题能力，并在学习和生活工作中善于提出问题，我们就一定是强者。“2012年6月24日中国神州九号与天宫一号的手工对接所需的时间很短。但其背后，我们的航天工作者则有预见性地提出了五百多个突发事件的处理方法”就是例证。没有解决旧问题和提出新问题的能力，我国的航天怎能跻身强国之列。因此培养“问题”学生，才是强国之本，才是教学的最终归宿。