二次函数的深入研究（夏建跃）

【摘要】:第二次函数是高考数学的重头戏,本文从函数概念出发,对二次函数的单调性、最值与图像做了研究,并通过这些研究,说明其可以准确反映学生的数学思维

【关键词】:二次函数；研究

在历年高考试题中函数的知识点和函数思想都占有相当重要的地位,而其中的二次函数犹如一根红线贯穿其中，在初中教材中,对二次函数作了详细的研究,由于初中学生理解能力较差,又受其接受能力的限制,对这部分内容的学习多是机械的,很难从本质上加以理解,进入高中以后,对二次函数的基本概念和基本性质(图象以及单调性、奇偶性、对称性、有界性)的理解提出了更高的要求.作为最基本的幂函数,可以它为代表来研究函数的性质,可以建立起函数、方程、不等式之间的联系,可以编出灵活多变的数学问题,考查学生的数学基础知识和综合数学素质,特别是能从解答的深入程度中,区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力,使其成为高考数学的必考内容。

进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义,进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射,接着重新学习函数概念,主要是用映射观点来阐明函数,这时就可以用学生对函数的一些理解,特别是以二次函数为例更深层次地认识函数。二次函数是从一个集合(定义域)到集合(值域)上映射,使得集合中的元素与集合中的元素对应，记为。这里表示对应法则，又表示定义域中的元素在值域中的象,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题:

类型Ⅰ：已知，求，这里不能把理解为时的函数值，只能理解为自变量为的函数值。

类型Ⅱ：设，求。这个问题理解为，已知在对应法则下，元素的象是，求定义域中元素的象，其本质是求对应法则，一般有两种方法：（1）把所给表达式表示成的多项式，，再用代得；（2）变量代换：它的适应性强，对一般函数都适用，令，则，所以，从而。

二次函数的单调性、最值与图象

在高中阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数在区间及上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习函数单调性。

类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。

（1）        （2）       （3）

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系，把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象，通过图象去研究函数的单调性。

首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合要么只有最小值，要么只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习，如：，求该函数的值域。

二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维

类型Ⅳ：设二次函数，方程的两个根，满足。（1）当时，证明；（2）设函数的图象关于直线对称，证明

解题思路：本题要证明的是，和，由题中所提供的信息可以联想到：①，说明抛物线与直线在第一象限内有两个不同的交点；②方程可变为，它的两根为，，可得到，与之间的关系式，因此解题思路明显有三条：①图象法，②利用一元二次方程根与系数关系，③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导，现以思路②为例解决这道题。

（1）先证明，令，因为，是方程的根，，所以。

因为，所以当时，得，又，因此，即

至此，证得

根据韦达定理，有，因为，，又，所以，根据二次函数的性质，曲线是开口向上的抛物线，因此，函数在闭区间上的最大值在边界点或处达到，而且不可能在区间的内部达到，由于，所以当时即

（1）因为。

函数的图象的对称轴为直线，且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得，因为是二次方程的根，根据违达定理得，。因为，所以，即。

二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。